Rayleigh-spredning

Like etter solnedgang gjør Rayleigh-spredning at himmelen er rød like over horisonten, mens den er blå høyere opp.

Rayleigh-spredning betegner elastisk spredning av lys som skyldes molekyler eller partikler som er mye mindre enn dets bølgelengde. Fenomenet ble forklart av John William Strutt (Lord Rayleigh) på slutten av 1800-tallet. Det var inspirert av arbeidene til John Tyndall som hadde eksperimentelt undersøkt spredning av lys i forskjellige gassblandinger.

Strutt viste teoretisk at intensiteten av det spredte lyset er omvendt proporsjonal med fjerde potens av bølgelengden. Blått lys som har bølgelengder som er nesten halvparten av bølgelengden til rødt lys, vil derfor spredes mye sterkere enn rødt lys. Dette gjør at himmelen i retninger langt fra Solen, har blå farge da man i så fall ser hovedsaklig spredt lys. Når man ved solnedgang ser i retning mot Solen, vil man av samme grunn se at himmelen er rød. Den blå del av lyset er da spredt til sides, og øyet mottar hovedsaklig rødt lys. Effekten blir da ekstra kraftig fordi lyset sent på ettermiddagen må bevege seg gjennom en større del av atmosfæren.

Den endelige forklaring av Rayleigh-spredning ble funnet av Albert Einstein i 1910. Han viste at den skyldes små variasjoner av tettheten til partiklene i en gass eller væskeblanding. Spredning av lys på større partikler med utstrekning av samme størrelsesorden som dets bølgelengde, er mer komplisert og omtales som Mie-spredning. Denne finner sted for eksempel i skyer hvor spredningen skjer på små dråper med vann.

Rayleigh-spredning har som konsekvens at lyset fra Solen som spredes i atmosfæren, er polarisert. Det kan observeres ved bruk av polariserte solbriller. Effekten er størst når man ser vinkelrett på retningen mot Solen. Det har vært spekulert om dette fenomenet tidligere har vært benyttet til navigasjon. Charles Wheatstone foreslo å benytte den i en «polar klokke» som kunne brukes til sjøs, også i overskyet vær. Den viste seg å ikke være god nok. I nyere tid benyttes Rayleigh-spredning i værradarer hvor elektromagnetisk stråling reflekteres fra vanndråper i skyer. Bølgelengden til strålingen er da noen cm som er mye større enn størrelsen av typiske dråper.

Forklaring

Sine to første arbeid om lysspredning skrev John Strutt i 1871 med tittel On the light from the sky, its polarization and colour. I en avstand r  fra partikkelen som spreder lyset, vil dets intensitet ha avtatt med en faktor 1/r² da det brer seg utover i alle retninger. Som en brøkdel av intensiteten til det innkommende lyset, kan intensiteten av det spredte lyset bare avhenge av dets bølgelengde λ  og partiklenes størrelse a  sammen med denne radielle faktoren. Strutt antok at amplituden til det spredte lyset måtte være proporsjonal med volumet til partiklene. Da det øker proporsjonalt med a³, vil brøken a⁶/r² kun bli et dimensjonsløst tall når den divideres med λ⁴. Forholdet mellom den spredte intensiteten og den innkommende vil derfor variere med disse variablene som

Intensiteten til det spredte lyset med blå farge er tydelig større enn for det røde lyset.

${I_{in} \over I_{ut}}\propto {a^{6} \over r^{2}\lambda ^{4}}$

Denne enkle argumentasjonen viser derfor at lys med korte bølgelengder spredes kraftigere enn lys med lengre bølgelengder. Det skyldes faktoren 1/λ⁴ og er karakteristisk for Rayleigh-spredning.

Omtrent ti år senere var John Strutt kjent som Lord Rayleigh og kunne presentere en mer velbegrunnet beregning av den spredte intensiteten basert på Maxwells ligninger som beskriver lys som elektromagnetiske bølger. Deres vekselvirrkning med en samling partikler gir opphav til at mediet de befinner seg i, får en brytningsindeks n. Når partiklene antas å være i vilkårlig bevegelse med en gjenomsnittelig tetthet ρ, viste Rayleigh at en lysstråle i tillegg vil få en spredning til sides i alle retninger. Denne effekten kan beskrives ved det totale spredningstverrsnittet

$\sigma ={8\pi ^{3}v^{2} \over 3\lambda ^{4}}(n^{2}-1)^{2}$

Dette gjelder for luft hvor n - 1 er et lite tall. Her er v = 1/ρ  det spesifikke volumet til hver partikkel. Dette resultatet har dimensjon som et areal og er basert på antagelsen av at bølgelengden til lyset er mye større enn partiklenes størrelse. Bare en liten brøkdel av den innkommende strålingen vil derfor spredes, men det blå lyset mer enn det røde.

Dipolstråling

En strømkilde som varierer med tiden, vil sende ut elektromagnetisk stråling. For bølgelengder som er mye større enn utstrekningen til kilden, er denne dominert av elektrisk dipolstråling. Når en polariserbar partikkel treffes av en innkommende bølge, vil det elektriske feltet E i denne indusere et elektrisk dipolmoment p = α_pε₀E i denne hvor α_p  er partikkelens polarisabilitet og ε₀ den elektriske konstanten. Dipolmomentet vil variere i takt med frekvensen til den innkommende strålingen slik at den utsendte strålingen vil få samme frekvens. Denne prosessen gir derfor opphav til «elastisk spredning». Når den innkommende strålingen er upolarisert og man midler over polarisajonen til den spredte strålingen, vil denne bare avhenge av vinkelen θ  mellom retningene til disse to bølgene.

Amplituden til dipolmomentet kan relateres til intensiteten I₀ til den innkommende strålingen. På samme måte som for Thomson-spredning kan det differensielle spredningstverrsnittet finnes fra intensiteten I_θ til den spredte strålingen i en avstand r  fra partikkelen. Da er

${d\sigma \over d\Omega }:=r^{2}{I_{\theta } \over I_{0}}={\pi ^{2}\alpha _{p}^{2} \over 2\lambda ^{4}}(1+\cos ^{2}\!\theta )$

hvor den differensielle romvinkelen dΩ = 2π sinθ. Generelt vil polarisabiliteten α_p  til partikkelen variere med frekvensen til lyset slik at tverrsnittet får en komplisert avhengighet av bølgelengden. Rayleigh-spredning er karakterisert ved at α_p  er tilnærmet konstant slik at spredningstverrsnittet varierer som 1/λ⁴.

Mens den innkommende strålingen er antatt å være polarisert, vil det spredte lyset generelt være polarisert. Denne kan enklest angis i forhold til planet som retningene til inngående og utgående lysbølger danner. I det differensielle spredningstverrsnittet rrepresenterer det første leddet den delen av det spredte lyset som er polarisert vinkelrett på dette planet, mens det andre leddet angir den delen som er polarisert i planet. Det lyset som er spredt θ = 90°, er derfor 100 % polarisert vinkelrett på spredningsplanet. Dette er karakteristisk for all dipolstråling og forklarer for eksempel polarisasjon ved Thomson-spredning.

Totalt spredningstverrsnitt

Synlig lys har bølgelengder som ligger mellom 300 og 800 nm. Når det spredes på partikler som både er mindre i utstrekning og har mindre gjensidig avstand, vil flere partikler påvirkes samtidig av samme bølgefront. Den resulterende sprednigsamplituden vil da bestå av en sum av bidragene fra flere partikler. Men i en gass eller væske bestående av slike partikler vil deres termiske bevegelse medføre at denne summasjonen er inkoherent. Det resulterende, totale spredningstverrsnittet for N  partikler vil derfor ganske enkelt være N  ganger tverrsnittet for én partikkel . For koherent spredning ville det derimot ha økt som N².

Det totale spredningstverrsnittet for én partikkel finnes fra det differensielle tverrsnittet ved å integrere over alle rmulige retninger for den spredte partikkelen. Her vil det si for alle verdier av den polare vinkelen fra θ = 0° til 180°,

${\begin{aligned}\sigma &={\pi ^{2}\alpha _{p}^{2} \over 2\lambda ^{4}}2\pi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \,(1+\cos ^{2}\!\theta )\\&={8\pi ^{3}\alpha _{p}^{2} \over 3\lambda ^{4}}\end{aligned}}$

Ut fra denne definisjonen angir det hvor mye av lyset som blir spredt til sides og kan derfor benyttes til å finne reduksjonen av den innkommende intensiteten. Så lenge polarisabiliteten α_p  er uavhengig av bølgelengden til lyset, vil tversnittet derfor variere som 1/λ⁴. Det er i overensstemmelse med Rayleighs første argumentasjon basert på dimensjonsanalyse. På denne måten ga han en forklaring av Tyndall-effekten som sier at kortbølget lys spredes mer enn lys med lengre bølgelengder.

Polarisabiliteter

All spredning av lys skjer ved at det kobler til elektroner i atomer og molekyler. Disse har typiske utstrekninger som er mindre enn 1 nm og derfor mye mindre enn bølgelengden til synlig lys. Polarisabiliteten α_p  til disse partiklene kan beregnes ved atomfysikk og er vanligvis sterkt avhengig av frekvensene ω = (2π /λ)c til de mulige kvantemekaniske overgangene mellom partikkelens energitilstander. Polarisasjonen av partikkelen kan da med tilstrekkelig nøyaktighet skrives som en Lorentz-oscillator og tar formen

$\alpha _{p}={e^{2} \over m\varepsilon _{0}}{f_{k} \over \omega _{k}^{2}-\omega ^{2}-i\omega \gamma _{k}}$

hvor elektronets ladning e  og masse m  inngår. Her er i tillegg ω_k frekvensen for eksitasjon til nærmeste tilllatte kvanteovergang i atomet, f_k er oscillatorstyrken som angir sannsynligheten for at overgangen skal finne sted og γ_k er dens linjebredde som vanligvis er en liten størrelse. Denne gir et imaginært bidrag til polarisasjonen som tilsvarer at lys blir absorbert fra den innkommende strålingen.

Med dette uttrykket for den atomære polarisasjonen kan det totale spredningstversnittet for denne prosessen skrives som

$\sigma ={\omega ^{4} \over 6\pi c^{4}}|\alpha _{p}|^{2}={8\pi \over 3}r_{0}^{2}{\omega ^{4}f_{k}^{2} \over (\omega ^{2}-\omega _{k}^{2})^{2}+\omega ^{2}\gamma _{k}^{2}}$

når det uttrykkes ved den den klassiske elektronradien r₀ = e²/4π ε₀mc². For frekvenser mye høyere enn overgangsfrekvensene for partikkelen, går dette over i tverrsnittet til Thomson-spredning som er uavhengig av frekvensen til lyset. I motsatt fall for mye mindre frekvenser gir dette Rayleigh-tverrsnittet som varierer som ω⁴, med mindre man er i nærheten av en frekvens hvor noe av lyset absorberes.

Større partikler

Atomene eller molekylene i en gass eller væske kan under visse forhold binde seg sammen til større, faste partikler. Det kan for eksempel være kullpartikler i røyk eller små dråper av vann. Spredning fra én slik stor partikkel vil være kraftigere enn summen av enkeltspredningene fra hvert enkelt atom eller molekyl fordi de nå er bundet sammen slik at de gir en koherent effekt. Så lenge en slik større partikkel har mindre utstrekning enn bølgelengden til lyset, vil den derfor gi opphav til Rayleigh-spredning som kan observeres i forskjellige Tyndall-effekter.

Polarisasjon til en slik stor partikkel kan ikke uten videre beregnes ved kvantemekaniske metoder, men kan estimeres ut fra klassiske betraktninger. Enklest er det å tenke seg at den er kuleformet med en viss radius a. Hvis den består av en sentral, positiv kjerne omgitt av en sky med negative elektroner, vil et ytre, elektrisk felt skille den positive delen fra den negative skyen slik at partikkelen får et indusert dipolmoment. En enkel betraktning viser at det tilsvarer en polarisabilitet α_p = 4π a³. Det samme resultatet finner man ved en direkte utregning i elektrostatikken av polariseringen til en elektrisk ledende kule i et slikt ytre felt.

Da spredningstverrsnittet er proporsjonalt med kvadratet av polarisabiliteten, vil dette derfor variere med radien som a⁶. Denne raske økningen av intensiteten til den spredte strålingen med størrelsen til partiklene ble påvist allerede i de første eksperimentene til John Tyndall. Samme forklaring kom også Rayleigh frem till ved sin første dimensjonsanalyse.

Dielektrisk kule

Istedenfor å tenke seg en slik stor partikkel som en metallisk kule, er det mer realistisk å forestille seg den som bestående av et homogent, dielektrisk materiale. Hvis den befinner den seg i en omsluttende gass eller væske med elektrisk permittivitet ε₁ og den selv har permittivitet ε₂, kan dens induserte polarisabilitet beregnes ved standard metoder fra elektrostatikken. Fremgangsmåten er den samme som for en magnetiserbar kule i et ytre magnetfelt. Resultatet blir

$\alpha _{p}=4\pi a^{3}\,\left({\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1} \over \varepsilon _{2}+2\varepsilon _{1}}\right)$

hvor a  igjen er kulens radius. En elektrisk ledende kule tilsvarer derfor situasjonen der forholdet ε = ε₂/ε₁ blir veldig stort.

Med dette resultatet for polarisabiliteten kan nå det totale tverrsnittet for Rayleigh-spredning på en samling av slike dielektriske kuler skrives som

$\sigma ={8\pi \over 3}a^{2}(ka)^{4}\left({\varepsilon -1 \over \varepsilon +2}\right)^{2}$

når det her uttrykkes ved k = 2π /λ  som er bølgetallet til lyset.

Når radius til den spredende partikkelen blir like stor eller større enn bølgelengden til lyset, gjelder denne beskrivelsen ikke lenger. Da vil de forskjellige atomene eller molekylene i den ikke lenger kunne spre lyset på en koherent måte. Da må man gå tilbake til Maxwells ligninger og løse disse med korrekte grensebetingelser på partikkelens overflate. Rayleigh-spredning går da over til Mie-spredning med et tverrsnitt som ikke lenger favoriserer kortbølget lys. Spredningen blir i dette tilfellet også i mye større grad konsentrert fremover i samme retning som det innkommende lyset.

Brytningsindeks

Når polarisabiliteten på denne måten er beregnet, kan brytningsindeksen n  finnes for en løs samling av et stort antall slike partikler. Den er gitt ved Lorenz-Lorentz-relasjonen

${n^{2}-1 \over n^{2}+2}={1 \over 3}\rho \,\alpha _{p}$

hvor ρ = N /V er deres tetthet. Det totale spredningstverrsnitt kan dermed uttrykkes ved brytningsindeksen,

$\sigma ={\alpha _{p}^{2} \over 6\pi }\left({2\pi \over \lambda }\right)^{4}={24\pi ^{3} \over \lambda ^{4}\rho ^{2}}\left({n^{2}-1 \over n^{2}+2}\right)^{2}$

Gasser og tynne væsker har brytningsindekser som oppfyller n - 1 << 1. Da kan man sette n² + 2 = 3. Med samme nøyaktighet har man også at n² - 1 = 2(n - 1) slik at høyresiden i uttrykket da kan forenkles.

Absorbsjonskoeffisient

Når lyset beveger seg gjennom atmosfæren, vil dets intensitetet bli litt redusert ved at en liten del forsvinner på grunn av slik Rayleigh-spredning. Denne reduksjonen er eksponensiell og beskrevet ved Beer-Lamberts lov. Størrelsen av effekten er gitt ved absorpsjonskoeffisienten h = ρσ  som har samme dimensjon som en invers lengde. Etter at lyset har tilbakelagt en distanse 1/h, er intensiteten reduserert med en faktor 1/e der e = 2.71... er Eulers konstant.

For vanlig luft er brytningsindeksen slik at n - 1 << 1. Absorbsjonskoeffisient kan derfor skrives som

$h={8\pi ^{3} \over 3\rho \lambda ^{4}}(n^{2}-1)^{2}$

og ble utledet av Rayleigh allerede i hans første arbeider. Alle størrelsene på høyre side er kjente og resulterer i at 1/h  er typisk opp til hundre kilometer for vanlig luft i atmosfæren. Lyset fra et fjerntliggende fjell er derfor ikke mye redusert.

Einsteins fluktuasjonsteori

Spredning av lyset skjer bare når gassen eller væsken inneholder substanser med en litt annen brytningsindeks enn omgivelsene. Da denne avhenger av tettheten til partiklene, vil også en variasjon av tettheten i en ellers homogen gass kunne gi opphav til spredning. Dette ble først påpekt av den polske fysiker Marian Smoluchowski som mente at dette bidraget måtte komme i tillegg til hva Rayleigh hadde beregnet. Kort tid deretter viste Einstein at slike tetthetsfluktuasjoner tilsvarer Rayleighs resultat for homogene gasser, men har et større gyldighetsområde. Senere, mer nøyaktige målinger har også bekreftet Einsteins teori for tettere gasser og væsker hvor Rayleighs beskrivelse ikke er nøyaktig nok.

Fluktuasjoner

Einstein beskriver gassen som et kontinuerlig fluid med en tetthet ρ(r) som varierer med posisjon. Derfor må man også benytte en variabel permittivitet ε(r) for å beskrive gassens respons på et ytre, elektrisk felt. Polarisabiliteten α_p  av en partikkel kan dermed erstattes med den tilsvarende størrelsen

$\alpha _{p}\rightarrow \int \!d^{3}r\Delta \varepsilon (\mathbf {r} )$

i et endelig volum hvor Δε(r) = ε(r) - 1 angir den lokale fluktuasjonen i permittiviteten. Det spredte lyset vil fremdeles være dipolstråling med en intensitet i retning θ  som nå kan skrives som

${I_{\theta } \over I_{0}}={\pi ^{2} \over 2r^{2}\lambda ^{4}}(1+\cos ^{2}\!\theta )S(\mathbf {Q} )$

etter å ha innført strukturfunksjonen

${\begin{aligned}S(\mathbf {Q} )&=\int \!d^{3}r\!\int \!d^{3}r'\langle \Delta \varepsilon (\mathbf {r} )\Delta \varepsilon (\mathbf {r'} )\rangle e^{i\mathbf {Q} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}\\&=V\!\int \!d^{3}r\langle \Delta \varepsilon (\mathbf {r} )\Delta \varepsilon (0)\rangle e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}$

hvor produktet av fluktuasjoner skal midles over det belyste volumet V  i gassen. I tillegg er Q = k'  - k differensen mellom bølgevektorene for lyset som kommer inn og blir spredt. Siden Rayleigh-spredning er elastisk, er k = k'  slik at dens størrelse er Q = (4π /λ)sin(θ/2). Når bølgelengden λ  er mye større enn korrelasjonslengden mellom fluktuasjonene, vil Q⋅r → 0. Da blir bidraget fra denne strukturfunksjonen konstant og ganske enkelt

$S(\mathbf {Q} )=V^{2}(\Delta \varepsilon )^{2}$

hvor Δε  nå er den gjennomsnittlig fluktuasjonen i volumet V.

Den totale, spredte intensiteten I_S finnes ved å integrere I_θ over alle spredningsvinkler på samme måte som tidligere for det totale spredningstverrsnittet. På den måten kommer man frem til det tilsvarende resultatet

${I_{S} \over I_{0}}={8\pi ^{3}V^{2} \over 3r^{2}\lambda ^{4}}(\Delta \varepsilon )^{2}$

hvor nå den eneste ukjente er størrelsen av den midlere fluktuasjonen til permittiviteten.

Statistisk midling

Siden man her kan se bort fra fluktuasjoner i temperaturen T, er $\Delta \varepsilon =(\partial \varepsilon /\partial \rho )_{T}\Delta \rho$ hvor fluktuasjonen $\Delta \rho$ i tettheten kan beregnes fra statistisk mekanikk. Det gir

$\left({\Delta \rho \over \rho }\right)^{2}={1 \over V}k_{B}T\kappa _{T}$

hvor k_B er Boltzmanns konstant og $\kappa _{T}=(1/\rho )(\partial \rho /\partial P)_{T}$ er fluidets kompressibilitet og angir hvordan dets tetthet varierer med det ytre trykket P. Intensiteten av den spredte strålingen er dermed gitt ved

${I_{S} \over I_{0}}={8\pi ^{3}V \over 3r^{2}\lambda ^{4}}k_{B}T\kappa _{T}\left(\rho {\partial \varepsilon \over \partial \rho }\right)_{T}^{2}$

Her inngår hvordan permittiviteten avhenger av mediets tetthet. Den følger fra Lorenz-Lorentz-relasjonen som sier at $(\varepsilon -1/\varepsilon +2)$ er proporsjonal med ρ. Det betyr at

$\left(\rho {\partial \varepsilon \over \partial \rho }\right)_{T}={1 \over 3}(\varepsilon -1)(\varepsilon +2)$

som innsatt gir den endelige formen av Einsteins resultat. Det publiserte han i 1910 etter at han hadde etablert den spesielle relativitetsteorien og var i ferd med å overta en ny stilling i Praha. Der gikk han i gang med å utvikle den generelle relativitetsteorien.

Generell absorpsjonskoeffisient

For spredning på N  identiske partikler er absorpsjonskoeffisienten definert som h = σρ hvor σ  er spredningstverrsnittet på én partikkel. Da ρ = N/V, vil Nσ  være det totale tverrsnittet for alle disse partiklene og derfor bestemme den spredte intensiteten I_S. Herav følger at denne koeffisienten for stråling som går gjennom et belyst område av størrelse V, tar den alternative formen

$h:={r^{2} \over V}{I_{S} \over I_{0}}={8\pi ^{3} \over 27\lambda ^{4}}k_{B}T\kappa _{T}(n^{2}-1)^{2}(n^{2}+2)^{2}$

etter å ha uttrykt permittiviteten ved brytningsindeksen til mediet ved den vanlige sammenhengen n^;2 = ε. På denne formen er det klart at absorpsjonskoeffisienten er uavhengig av spredningsvolumet.

For en tynn gass som luft er n - 1 et lite tall. Da vil n^;2 + 2 ha en verdi som med god nøyaktighet er 3. Under normale forhold vil en slik gass også beskrives som en Ideell gass. Da blir kompressibiliteten κ_T = 1/P slik at k_BTκ_T = V /N = 1/ρ. Absorpsjonskoeffisienten tar dermed en enklere form som er i full overenstemmelse med Rayleighs opprinnelige resultat.

Eksterne lenker

• (en) Rayleigh scattering – kategori av bilder, video eller lyd på Commons
• Youtube, Rayleigh Scattering - why the sky is blue, god introduksjon.

• HyperPhysics, Blue Sky, litt om lysspredning i atmosfæren.